线性代数的"舞台"——把 $\mathbf{R}^n$、函数、多项式、矩阵这些本来不同的对象用同一套公理管理起来，使得"线性"一词有明确含义；而 span、无关、基、维数是描述这个舞台的四块基石。
| 符号 | 念作 | 含义 | 类型 |
|---|---|---|---|
| $\mathbf{F}$ | F（field） | 标量所在的数域，$\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ | 域 |
| $V$ | V | 向量空间（over $\mathbf{F}$）。元素叫"向量"，但可以是任何东西 | 集合 + 结构 |
| $v, w, u$ | v, w, u | $V$ 的元素（向量） | $\in V$ |
| $0_V$ | 零向量（加法单位元） | $V$ 里唯一满足 $v + 0 = v$ 的元素，和标量 $0 \in \mathbf{F}$ 是两码事 | $\in V$ |
| $0$ | 零（标量） | $\mathbf{F}$ 里的数字零。满足 $0 \cdot v = 0_V$ | $\in \mathbf{F}$ |
| $+$ | 加 | $V \times V \to V$：交换、结合、有单位元、有逆元 | 二元运算 |
| $\cdot$ | 标乘 | $\mathbf{F} \times V \to V$：与加法分配、$1 \cdot v = v$ | 外乘运算 |
| $U \subseteq V$ | U 是 V 的子集（子空间） | $U$ 是 $V$ 的子空间：非空 + 对加/乘封闭 | 子集 |
| $U + W$ | U 加 W | $\{u + w : u \in U, w \in W\}$，是 $V$ 的子空间 | 子空间 |
| $U \oplus W$ | U 直和 W | $U + W$ 且 $U \cap W = \{0\}$：表示 $u + w$ 唯一 | 子空间 |
| $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_n)$ | v 张成的空间 | $\{a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n : a_i \in \mathbf{F}\}$——包含这些向量的最小子空间 | 子空间 |
| $v_1, \ldots, v_n$ 线性无关 | linearly independent | $a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n = 0$ 只有 $a_i = 0$ 这一组解 | 向量组性质 |
| basis | 基 | 线性无关 + span 整个 $V$ | 向量组 |
| $\dim V$ | V 的维数 | 任何一组基的元素个数（定理 2.35 保证良定义） | 非负整数 或 $\infty$ |
| $\mathbf{F}^n$ | F 的 n 次方 | $n$ 元组 $(x_1, \ldots, x_n)$，$x_i \in \mathbf{F}$，逐分量加/乘 | $n$ 维向量空间 |
| $\mathcal{P}(\mathbf{F})$ | P of F（多项式空间） | 所有系数在 $\mathbf{F}$ 的多项式，无限维 | 向量空间 |
| $\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$ | P_m（次数 $\leq m$） | 次数 $\leq m$ 的多项式。基为 $1, x, x^2, \ldots, x^m$，维数 $m + 1$ | 有限维子空间 |
向量空间 $V$ over $\mathbf{F}$ 是一个集合，配有加法 $V \times V \to V$ 和标乘 $\mathbf{F} \times V \to V$，满足 8 条公理（Axler 1.20）：
立即推出：$0 \in V$ 唯一（1.25）、$-v$ 唯一（1.26）、$0 v = 0_V$（1.30）、$a \cdot 0_V = 0_V$（1.31）、$(-1) v = -v$（1.32）。这些"显然"的事实必须证——公理里没直接说。
术语提醒：书上写 "$V$ is a vector space" 指"集合 + 两个运算 + 8 条公理"的整个包裹——不是只有集合。两个运算不同的同一集合是不同的向量空间。
一个词：复用。
同一套定理——"$n$ 个向量必线性相关当维数 $< n$"、"基把表示做成唯一"、"维数是不变量"——可以用在许多表面完全不同的对象上：
| 具体例子 | 元素长什么样 | 加法 | 标乘 |
|---|---|---|---|
| $\mathbf{R}^3$ | $(x_1, x_2, x_3)$ | 逐坐标相加 | 逐坐标乘 |
| $\mathcal{P}_m(\mathbf{R})$ | 多项式 $a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m$ | 同次系数相加 | 所有系数乘 |
| $C[0,1]$（连续函数） | 函数 $f: [0,1] \to \mathbf{R}$ | $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ | $(cf)(x) = c \cdot f(x)$ |
| $\mathbf{R}^{m \times n}$ | $m \times n$ 实矩阵 | 逐元素加 | 逐元素乘 |
| 解集 $\{Ax = 0\}$ | 线性方程组的解 | 两个解相加还是解 | 解乘 $c$ 还是解 |
证"多项式 $1, x, x^2$ 线性无关"这种事不需要重新证——它是"任何 3 维向量空间里 3 个基向量无关"的特例，而后者只证一次。
这是数学最漂亮的套路之一：抽象 = 一次证明、多次使用。物理、工程、统计、机器学习里反复出现"向量空间"的身影，因为一旦把问题翻译进向量空间语言，就能无代价地用上整套线性代数机器。
$U \subseteq V$ 是 $V$ 的子空间当且仅当：
为什么这三条够了：因为 $U$ 继承了 $V$ 的加法和标乘——交换律、结合律、分配律自动成立（对 $V$ 成立就对子集成立）。只需验证 $U$ 作为集合"没跑出 $V$"以及"有单位元"。"加法逆元"也免验：$-v = (-1) v \in U$（第 3 条）。
实用诀窍：先看第 1 条（含零）——如果 $0 \notin U$，立刻否决。例如 $U = \{(x, 1) : x \in \mathbf{R}\} \subset \mathbf{R}^2$ 不是子空间（平面外一条线，不过原点）。
定义上：
两个子空间情形有漂亮等价刻画：
几何直观：$\mathbf{R}^2$ 里 $x$-轴 $+$ $y$-轴 $= \mathbf{R}^2$ 是直和，因为它们只在原点相交。但 $x$-轴 $+$ 整个 $\mathbf{R}^2$ 虽然也等于 $\mathbf{R}^2$——不是直和，因为 $(1,0) = (1,0) + (0,0) = (0,0) + (1,0)$ 有多种分解。
反例慎记：三个子空间时，"两两相交为 $\{0\}$" 不够保证直和！例：$\mathbf{R}^2$ 里三条过原点不同斜率的直线 $L_1, L_2, L_3$，两两相交都是 $\{0\}$，但 $L_1 + L_2 + L_3 = \mathbf{R}^2$ 里任何向量都能写成三个的和——方式不唯一。正确的一般条件是：唯一零表示——$u_1 + \cdots + u_m = 0$ 的唯一解是 $u_i = 0$（1.44）。
线性组合 = $a v_1 + b v_2$（$a, b \in \mathbf{F}$）。span 就是所有这样的组合组成的集合。
在 $\mathbf{R}^2$ 里：如果 $v_1, v_2$ 线性无关（不共线），$\operatorname{span}(v_1, v_2) = \mathbf{R}^2$（整个平面）。否则它们共线，span 是过原点的一条直线。
下面滑杆调 $v_1, v_2$ 分量。蓝紫两根是输入向量，黄色是它们张成的空间——"整个平面"用平铺点阵表示，"一条线"就真的只是一条线。
关键观察：只要 $v_1, v_2$ 不成比例（$\det \begin{pmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2\end{pmatrix} \neq 0$），span 就是整个 $\mathbf{R}^2$。反之塌成一条线（或点 $\{0\}$，当两者都是零）。
两个定义看似讲不同的事，其实同一枚硬币两面：
证明骨架：如果 $v = \sum a_i v_i = \sum b_i v_i$ 两种表示，两边相减得 $\sum (a_i - b_i) v_i = 0$。无关 $\Leftrightarrow$ $a_i = b_i$（零表示唯一） $\Leftrightarrow$ 所有表示唯一。
直观：线性相关意味着某个 $v_k$ 可以写成其他的组合，所以同一个 $v$ 有多种分解（可以偷换一部分）。无关意味着每个 $v_i$ "独立贡献"——没人能替代别人。这正是基的本质。
重要副产品 · Axler 2.21 linear dependence lemma：若 $v_1, \ldots, v_m$ 线性相关，存在 $k$ 使 $v_k \in \operatorname{span}(v_1, \ldots, v_{k-1})$，且去掉 $v_k$ 后 span 不变。这是"修剪到基"的唯一工具——反复删相关向量直到无关。
两个方向缺一不可：
2.28 判定：$v_1, \ldots, v_n$ 是基 $\iff$ 每个 $v \in V$ 唯一写作 $v = \sum a_i v_i$。
标准基的例子：
| 空间 | 标准基 | 维数 |
|---|---|---|
| $\mathbf{F}^n$ | $e_1, \ldots, e_n$（单位坐标向量） | $n$ |
| $\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$ | $1, x, x^2, \ldots, x^m$ | $m + 1$ |
| $\mathbf{F}^{2 \times 2}$ | $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$（4 个位置矩阵） | $4$ |
存在性 2.31：每个有限维向量空间都有基。构造法：从任一 span 集出发，反复用 2.21 删冗余。
扩张 2.33：任何线性无关组 $v_1, \ldots, v_k$ 可以扩成基。证明：逐次加 "不在已有 span 里的任何向量"。
没有这个结果，"维数" 两字根本写不出来。Axler 把它作为 Ch 2 高潮：
证明的关键引理：
由此导 2.35：设 $B_1, B_2$ 都是基。$B_1$ 无关、$B_2$ span $V$，所以 $|B_1| \leq |B_2|$。对称地 $|B_2| \leq |B_1|$，故相等。∎
2.23 的证明思路（Axler 巧妙）：给定线性无关组 $u_1, \ldots, u_m$ 和 span 组 $w_1, \ldots, w_n$，一次把一个 $u_i$ "换入"、把某个 $w_j$ "换出"——永远保持是 span，且 $u$ 先用完之前不会耗尽 $w$。所以 $m \leq n$。
推论：
$v_1, v_2, v_3 \in \mathbf{R}^3$ 的 span 可能是：
下面 9 个输入控制 $v_1, v_2, v_3$ 的分量。蓝/紫/青 三根是输入向量，黄色是 span 可视化：线、半透平行四边形、或整块 $\pm 3$ 立方。右边读出秩（= span 的维数）。
数学技巧：3 个 $\mathbf{R}^3$ 向量无关 $\iff \det \begin{pmatrix}v_1 \mid v_2 \mid v_3\end{pmatrix} \neq 0$。下面代码对矩阵做了 SVD 数奇异值——非零奇异值个数就是秩，等于 span 的维数。
证明骨架：取 $U \cap W$ 的基 $\{e_1, \ldots, e_k\}$。分别扩成 $U$ 的基 $\{e_1, \ldots, e_k, u_1, \ldots, u_p\}$ 和 $W$ 的基 $\{e_1, \ldots, e_k, w_1, \ldots, w_q\}$。要证 $\{e_i\} \cup \{u_j\} \cup \{w_l\}$ 是 $U + W$ 的基。Span 易验；无关性用"$\sum a_i e_i + \sum b_j u_j + \sum c_l w_l = 0$ 把左移后右边是 $W$ 里的、用 $W$ 无关性、再用 $U \cap W$ 基无关"推。得 $\dim(U + W) = k + p + q = (k+p) + (k+q) - k$。∎
直和特例：$U \cap W = \{0\}$ 时 $\dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W$（2.44）——这是直和的"维数相加"定律。
包斥原理类比：维数不等式和集合的 $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 形式完全一致。向量空间的"和"类比集合并、"交"就是集合交。
三个子空间? 没有对应的 $\dim(U_1 + U_2 + U_3)$ 公式。Axler 2.48：三个子空间的维数和不能用交的维数表达——这是向量空间不如集合"可加"的地方。
只要一个集合上能合理定义"加"和"标乘"并满足 8 条公理，就有了线性代数。
| 空间 | 典型基 / 描述 | 维数 |
|---|---|---|
| $\mathbf{F}^n$ | $e_1, \ldots, e_n$ | $n$ |
| $\mathbf{F}^{\infty}$（无穷序列） | 无限元组 | $\infty$（不可数基） |
| $\mathcal{P}(\mathbf{F})$（所有多项式） | $\{1, x, x^2, \ldots\}$ | $\infty$（可数基） |
| $\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$ | $1, x, \ldots, x^m$ | $m + 1$ |
| $C[a,b]$（连续函数） | 无"简单基" | $\infty$ |
| $C^k(\mathbf{R})$（$k$ 次可导） | - | $\infty$ |
| $\mathbf{F}^{m \times n}$（矩阵） | $E_{ij}$（$mn$ 个） | $mn$ |
| $\mathbf{F}^S$（任意集合 $S$ 到 $\mathbf{F}$ 的函数） | - | $|S|$ 或 $\infty$ |
| $\mathbf{C}$ 看作 $\mathbf{R}$-向量空间 | $1, i$ | $2$ |
| $\mathbf{R}$ 看作 $\mathbf{Q}$-向量空间 | 不可数基（Hamel 基，需选择公理） | $\infty$ |
| 齐次 ODE $y'' + y = 0$ 解集 | $\sin x, \cos x$ | $2$ |
| $\{Ax = 0\}$ 解集（$A \in \mathbf{R}^{m \times n}$） | $\operatorname{null}(A)$ 的基 | $n - \operatorname{rank}(A)$ |
注意底层数域：$\mathbf{C}$ 本身是 $1$ 维 $\mathbf{C}$-空间（基 $\{1\}$），也是 $2$ 维 $\mathbf{R}$-空间（基 $\{1, i\}$）。同一集合，换 $\mathbf{F}$ 就换了维数。
判无限维的最常用招数（Axler 2.11 论证 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 无限维）：
例：$\mathcal{P}(\mathbf{R})$ 里 $1, x, x^2, \ldots, x^n$ 无关（多项式次数不同所以无关），这对任何 $n$ 成立，所以 $\dim \mathcal{P}(\mathbf{R}) = \infty$。
Ch 2 仅处理有限维——定理 2.23、2.31、2.33、2.35 都默认"存在有限 spanning set"。无限维情形需要泛函分析的 Hamel 基 / Schauder 基等工具，超出 Axler 范围。
重要警示：在无限维空间里很多"显然"的结论会失效：
所以 Axler 从 Ch 3 开始基本假设"有限维向量空间"——这也是"Linear Algebra"的经典作用域，泛函分析则是它的无限维推广。
两个最常遇到却容易"看不见"的例子。
任何 ML 模型的输入都被"工程师"喂成 $\mathbf{R}^n$ 向量：图像 $224 \times 224 \times 3 = 150528$ 维、GPT 一个 token 的 embedding 是 $\mathbf{R}^{12288}$ 向量、用户画像是几十个数值特征组成的 $\mathbf{R}^{30}$ 向量。
这带来两个重要后果：
神经网络的每一层其实都是"向量空间 $\to$ 向量空间"的映射（下一章 Ch 3 的主题）。整个深度学习可以看作"构造向量空间之间的复杂映射"。
量子态 $|\psi\rangle$ 住在一个 $\mathbf{C}$-向量空间（Hilbert 空间）里。两大事实都是线性代数：
量子力学中 $|\psi\rangle + |\phi\rangle$ 描述的物理状态叫"相干叠加"，产生双缝干涉、量子计算等一切非经典效应。物理学家视角下线性代数不是工具，而是量子力学的底层结构。
到此为止舞台已经搭好，接下来几章都是在这个舞台上演戏的：
学习节奏建议：Ch 1-2 不要停留——公理和证明技巧（尤其 2.21 / 2.23）必须真正会推导，但不值得花太多时间。Ch 3 才是线性代数真正的起点。有人说"线性代数 = 学会同时思考 $V$ 和 $W$ 以及它们之间的映射"——Ch 1-2 只是半个故事。
每题想 3 分钟再看答案。难度：★ 概念 / ★★ 证明 / ★★★ 综合。
(a) $\{(x_1, x_2, x_3) : x_1 + 2 x_2 = 0\}$ (b) $\{(x_1, x_2, x_3) : x_1 x_2 = 0\}$ (c) $\{(x_1, x_2, x_3) : x_1 \in \mathbf{Z}\}$ (d) $\{(x_1, x_2, x_3) : x_1 \geq 0\}$
三条检验：含零、加法封闭、标乘封闭。一条破了就不是。
(a) ✅ 齐次线性方程解集就是子空间。验：含 $0$；$x + y$ 也满足方程；$c x$ 也满足。
(b) ❌ $(1, 0, 0) \in S$、$(0, 1, 0) \in S$，但和 $(1, 1, 0) \notin S$（$1 \cdot 1 = 1 \neq 0$）。加法不封闭。
(c) ❌ $(1, 0, 0) \in S$，但 $\tfrac{1}{2} (1, 0, 0) = (0.5, 0, 0) \notin S$。标乘不封闭（$\mathbf{Z}$ 不是 $\mathbf{R}$-子空间）。
(d) ❌ $(1, 0, 0) \in S$，但 $(-1)(1, 0, 0) = (-1, 0, 0) \notin S$。标乘不封闭（含"非负"而非"加法子群"）。
口诀：子空间必须是齐次的——含零、对任何负号和分数都封闭。"等式"（齐次）可以，"不等式"和"整数"都不行。
分别写出下面每个空间的一组基和维数：
(a) $\mathcal{P}_3(\mathbf{R})$（次数 $\leq 3$ 的实多项式）
(b) $\{p \in \mathcal{P}_3(\mathbf{R}) : p(1) = 0\}$
(c) $\{A \in \mathbf{R}^{2 \times 2} : A^\top = A\}$（对称矩阵）
(d) $\{A \in \mathbf{R}^{3 \times 3} : \operatorname{tr}(A) = 0\}$
每多一条齐次线性约束一般把维数减 1（前提是约束非平凡）。
(a) 基 $\{1, x, x^2, x^3\}$，$\dim = 4$
(b) 约束 $p(1) = 0$ 是 1 条齐次线性约束。可取 $\{x - 1, x^2 - 1, x^3 - 1\}$（每个都在 $x = 1$ 取零且无关），$\dim = 3$
(c) 对称矩阵 $\begin{pmatrix}a & b \\ b & c\end{pmatrix}$，参数 $a, b, c$ 独立，基 $\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\right\}$，$\dim = 3$
(d) $\mathbf{R}^{3 \times 3}$ 是 9 维，$\operatorname{tr} = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 0$ 是 1 条线性约束，$\dim = 8$。基可取 $\{E_{12}, E_{13}, E_{21}, E_{23}, E_{31}, E_{32}, E_{11} - E_{22}, E_{11} - E_{33}\}$（8 个无关的 trace-$0$ 矩阵）
只用向量空间 8 条公理，证明 $(-1) \cdot v = -v$（右边是加法逆元）。
逆元唯一（1.26）。证 $(-1) v + v = 0$ 即可。用分配律。
$(-1) v + v = (-1) v + 1 \cdot v$（公理 5：标乘单位元）
$= ((-1) + 1) v$（公理 8：分配律 2）
$= 0 \cdot v$（$\mathbf{F}$ 里 $-1 + 1 = 0$）
$= 0_V$（先前已证的 1.30：$0 \cdot v = 0_V$）
所以 $(-1) v$ 是 $v$ 的加法逆元。由 1.26 唯一性，$(-1) v = -v$。∎
注：1.30（$0 \cdot v = 0_V$）的证明也只用公理：$0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v$，两边减 $0 v$ 得 $0 v = 0_V$。公理体系的乐趣在于所有"显然"都要明推。
设 $v_1, v_2, v_3, v_4 \in V$ 线性无关。证明 $v_1 - v_2, v_2 - v_3, v_3 - v_4, v_4$ 也线性无关。
直接按定义：假设组合 $= 0$，用原 $v_i$ 展开再用无关性。
设 $a_1 (v_1 - v_2) + a_2 (v_2 - v_3) + a_3 (v_3 - v_4) + a_4 v_4 = 0$。展开并按 $v_i$ 分组：
$a_1 v_1 + (a_2 - a_1) v_2 + (a_3 - a_2) v_3 + (a_4 - a_3) v_4 = 0$
由 $v_1, v_2, v_3, v_4$ 无关，所有系数为零：
$a_1 = 0$, $a_2 - a_1 = 0 \Rightarrow a_2 = 0$, $a_3 - a_2 = 0 \Rightarrow a_3 = 0$, $a_4 - a_3 = 0 \Rightarrow a_4 = 0$。
所有系数为 0，故新向量组无关。∎
几何解读：差分算子（从 $\{v_i\}$ 到 $\{v_1 - v_2, \ldots\}$）保持无关性——这是 Ch 3 里"可逆线性映射保无关"的先驱。
证明 Axler 2.38：若 $\dim V = n$，$v_1, \ldots, v_n \in V$ 线性无关，则它们是 $V$ 的基。
用 2.33（扩张到基）+ 2.35（基等长）。反证即可。
由 2.33，无关组 $v_1, \ldots, v_n$ 可扩成 $V$ 的基，即存在基 $v_1, \ldots, v_n, w_1, \ldots, w_k$。
由 2.35，$V$ 的任何基长为 $n$，所以扩张后长 $= n + k = n$，即 $k = 0$。
也就是说 $v_1, \ldots, v_n$ 本身就已经是基，无需添加。∎
对偶定理 2.42：维数 $n$ 空间里 $n$ 个 spanning 向量自动无关。证法对称：反证用 2.31 / 2.21 压缩到比 $n$ 少的基，和 2.35 矛盾。
实用价值：想证 "$n$ 个向量是 $V$ 的基"，只需证它们无关或 spanning 中的一个，另一条在维数已知时自动。省一半工作。
设 $V$ 是 8 维，$U, W$ 是 $V$ 的 5 维子空间。证明 $U \cap W \neq \{0\}$（即它们必在原点以外相交）。
用 2.43：$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$。并利用 $\dim(U + W) \leq \dim V$。
$U + W \subseteq V$，所以 $\dim(U + W) \leq \dim V = 8$。
由 2.43：$\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U + W) \geq 5 + 5 - 8 = 2$。
$\dim(U \cap W) \geq 2 > 0$，所以 $U \cap W \neq \{0\}$。∎
一般化：若 $\dim U + \dim W > \dim V$，则 $U \cap W \neq \{0\}$。这是高维几何的"必然相交"现象——二维平面在 $\mathbf{R}^3$ 里不一定交（可以平行？不，过原点的平面必相交成直线）。但 8 维空间里两个 5 维"必然交出 $\geq 2$ 维"的相交。
设 $U_1, U_2, U_3$ 是有限维 $V$ 的子空间。证明：$U_1 + U_2 + U_3$ 是直和 $\iff$ 任何 $u_1 + u_2 + u_3 = 0$（$u_i \in U_i$）强制 $u_i = 0$ 全都。
给出一个反例：三个子空间两两交 $\{0\}$ 但和不是直和。
定义直和：表示唯一 $\iff$ 零表示唯一。$\mathbf{R}^2$ 里 3 条过原点的直线能轻易构造反例。
(⇒) 若 $U_1 + U_2 + U_3$ 直和，表示唯一。$0 = 0 + 0 + 0$ 是一种表示，所以任何 $u_1 + u_2 + u_3 = 0$ 的表示必须是 $u_i = 0$。
(⇐) 若任何零表示强制 $u_i = 0$，设 $v = u_1 + u_2 + u_3 = u_1' + u_2' + u_3'$ 两种表示。相减 $(u_1 - u_1') + (u_2 - u_2') + (u_3 - u_3') = 0$，由假设 $u_i - u_i' = 0$ 即 $u_i = u_i'$。表示唯一，直和。∎
反例：$V = \mathbf{R}^2$。$U_1 = \operatorname{span}\{(1, 0)\}$（$x$ 轴）、$U_2 = \operatorname{span}\{(0, 1)\}$（$y$ 轴）、$U_3 = \operatorname{span}\{(1, 1)\}$（$y = x$）。
两两交 $\{0\}$（不同斜率直线只在原点交）。但 $(1, 0) + (0, 1) + (-1)(1, 1) = 0$，非零的 $u_i$ 求和得零——不是直和。
或等价地，$\dim U_1 + \dim U_2 + \dim U_3 = 3 > 2 = \dim(U_1 + U_2 + U_3)$，违反直和要求的"维数相加"。
设 $U = \{p \in \mathcal{P}_4(\mathbf{R}) : p(6) = 0\}$。证明 $U$ 是 $\mathcal{P}_4(\mathbf{R})$ 的 4 维子空间，并找一组基。
进而：找一个 1 维子空间 $W$ 使得 $\mathcal{P}_4(\mathbf{R}) = U \oplus W$。
$p \mapsto p(6)$ 是线性泛函。零空间维数 = 总维数 - 值域维数。基可用 $(x - 6) \cdot (\text{次数低的})$。
$U$ 是子空间：含零多项式（$0(6) = 0$）；$p + q$ 满足 $(p+q)(6) = p(6) + q(6) = 0$；$cp$ 满足 $(cp)(6) = c \cdot 0 = 0$。三条都过。
维数 = 4：$\dim \mathcal{P}_4 = 5$。$p(6) = 0$ 是 1 条非平凡齐次线性约束（比如常数多项式 $1$ 不满足，约束真去掉 1 维），所以 $\dim U = 5 - 1 = 4$。
一组基：任何 $p \in U$ 含因子 $(x - 6)$（因子定理），即 $p(x) = (x - 6) q(x)$，$\deg q \leq 3$。所以 $U = \{(x - 6) q : q \in \mathcal{P}_3\}$，一组基是
$\{x - 6, \ x(x - 6), \ x^2(x - 6), \ x^3(x - 6)\}$ (4 个)
找 $W$：取 $W = \operatorname{span}\{1\}$（常数多项式）。
$U \cap W$：常数 $c$ 在 $U$ 里 $\iff c(6) = c = 0$，所以 $U \cap W = \{0\}$。
$\dim U + \dim W = 4 + 1 = 5 = \dim \mathcal{P}_4$，所以 $U \oplus W = \mathcal{P}_4$（2.39 取等条件）。
验证分解：任何 $p \in \mathcal{P}_4$ 可写成 $p(x) = \underbrace{(p(x) - p(6))}_{\in U} + \underbrace{p(6)}_{\in W}$。前者在 $x = 6$ 取零故属 $U$；后者是常数故属 $W$。✓