多项式本身是中学内容，但这一章是 Ch 5 特征值/特征向量理论的语法基础。关键跳跃是"把 $T$ 塞进多项式"——$p(T) = a_n T^n + \cdots + a_0 I$，这种算子多项式会编码 $T$ 的所有代数信息（最小多项式、特征多项式）。代数基本定理在 $\mathbf{C}$ 上保证每个算子都有特征值——整个 Ch 5 的基石。
| 符号 | 念作 | 含义 | 类型 |
|---|---|---|---|
| $\mathbf{F}$ | F | 标量域，约定 $\mathbf{F} \in \{\mathbf{R}, \mathbf{C}\}$ | 域 |
| $p, q, r$ | p, q, r | 多项式（典型命名） | 多项式 |
| $\mathcal{P}(\mathbf{F})$ | P of F | 所有系数在 $\mathbf{F}$ 的多项式组成的向量空间（无穷维） | 向量空间 |
| $\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$ | P sub m of F | 度数 $\leq m$ 的多项式，$\dim = m + 1$，基 $\{1, z, z^2, \ldots, z^m\}$ | 有限维子空间 |
| $\deg p$ | p 的度数 | 最高次项的指数；约定 $\deg 0 = -\infty$ | $\mathbf{Z}_{\geq 0} \cup \{-\infty\}$ |
| $p(z)$ | p 在 z 的取值 | 把标量 $z \in \mathbf{F}$ 代入得到的数值 | $\mathbf{F}$ 中标量 |
| $p(T)$ | p 作用于 T | 把算子 $T$ 代入：$p(T) = a_n T^n + \cdots + a_1 T + a_0 I$ | 算子 $V \to V$ |
| leading coefficient | 首项系数 | 度数最高项的系数 $a_{\deg p}$ | $\mathbf{F}$ 中非零标量 |
| monic | 首一 | 首项系数 $= 1$ 的多项式 | 形容词 |
| root / zero | 根 / 零点 | 使 $p(\lambda) = 0$ 的标量 $\lambda$ | $\mathbf{F}$ 中标量 |
| multiplicity | 重数 | $\lambda$ 作为根的次数：最大 $m$ 使 $(z-\lambda)^m \mid p$ | $\mathbf{Z}_{\geq 1}$ |
| $q \mid p$ | q 整除 p | 存在多项式 $s$ 使 $p = sq$ | 关系 |
| 代数基本定理 (FTA) | fundamental theorem of algebra | $\mathbf{C}$ 上任何非常数多项式至少有一个根 | 定理 |
| $\overline{z}$ | z 的共轭 | $\overline{a + bi} = a - bi$；根的共轭仍是实系数多项式的根 | $\mathbf{C}$ 中标量 |
中学说"$p(x) = 2x^2 + 3x - 1$ 是多项式"——这是函数视角。线性代数里，多项式是有限个系数的形式表达式：
两个视角的差别：
在 $\mathbf{R}$ 或 $\mathbf{C}$ 上两者等价：不同系数序列给出不同函数（"多项式唯一决定系数"，Axler 4.7）——这让我们随意混用两种视角。对有限域（如 $\mathbf{F}_p$）这就不成立了——$z^p - z$ 在 $\mathbf{F}_p$ 上恒等于零但系数非零——不过 Axler 不碰有限域。
$\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 是向量空间：多项式的加法和标量乘法继承自函数加法和数乘。所以 Ch 1-3 的所有结果（线性无关、基、维数、线性映射...）对多项式全部适用。$\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$ 维数 $m + 1$，基 $\{1, z, z^2, \ldots, z^m\}$。
好问题——毕竟你中学就学过多项式了。Axler 的理由藏在两句话里：
这让"算子的代数"突然变成"多项式的代数"：
跨章节路线图：
| Ch 4 工具 | Ch 5 应用 |
|---|---|
| 多项式除法 (4.8) | 证特征值至多 $\dim V$ 个 |
| FTA (4.13) | $\mathbf{C}$ 上每个算子都有特征值 (5.19) |
| $\mathbf{C}$ 上线性因子分解 (4.14) | 最小多项式分解 → 特征值列表 |
| $\mathbf{R}$ 上二次因子分解 (4.17) | $\mathbf{R}$ 上算子必有 1 或 2 维不变子空间 (5.24) |
所以"多项式"是 Ch 5 的词汇表——没学这章直接读 Ch 5 会被符号绊倒。
度数：最高次非零项的指数。约定 $\deg(0) = -\infty$（让 $\deg(p + q) \leq \max(\deg p, \deg q)$ 对 $p + q = 0$ 也成立）。
首项系数 (leading coefficient)：度数项的系数。$p(z) = 3z^2 - z + 5$，首项系数 $= 3$。
首一多项式 (monic)：首项系数 $= 1$。$z^2 - z + 5$ 是首一的；$3z^2 - z + 5$ 不是，但同除首项系数得首一 $z^2 - z/3 + 5/3$。
为什么关心首一？——最小多项式 $m_T$ 按约定取首一，这样唯一。否则乘以任何非零标量都还满足 $p(T) = 0$，无法单独指认。"首一 + 最小度数"这两个条件一起锁死唯一性。
整数有带余除法 $n = qd + r$，$0 \leq r < d$。多项式有完全平行的版本：
用长除法证存在性，用度数比较证唯一性。这是本章的"主引擎"——几乎所有后续定理都是它的推论。
例子：$p(z) = z^3 - 2z + 5$，$s(z) = z - 1$。
关键推论：带余除法的余式性质直接给出 Q5 的"根 $\iff$ 因子"等价。
这是 Ch 4 最基本的对偶：代数（因子）$\leftrightarrow$ 几何（根）。
证明：用 4.8 带余除 $p$ 除以 $(z - \lambda)$：$p(z) = (z - \lambda) q(z) + r$，$r$ 是常数（度数 $< 1$）。代 $z = \lambda$：$p(\lambda) = 0 + r$。所以 $r = p(\lambda)$。于是 $p(\lambda) = 0 \iff r = 0 \iff (z - \lambda) \mid p$。
立即推论：
反复用 4.11 剥 $(z - \lambda_i)$，每剥一次度数降 1，度数变负前只能剥 $\deg p$ 次。
为什么这条小定理重要？——Ch 5 证"每个算子 $T$ 至多 $\dim V$ 个不同特征值"用的就是它（5.12）。因为 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值 $\iff$ 它是最小多项式 $m_T$ 的根，而 $\deg m_T \leq \dim V$。
拖滑杆改 $p(x)$ 的系数，实时看：
选择度数 2、3、4。注意复根成对出现——一个度数 4 多项式可以有 0 / 2 / 4 个实根，对应 4 / 2 / 0 个复根。这直接对应 Q10 "$\mathbf{R}$ 上分解成一次 + 二次不可约"。
$p(x) = (x - 1)^3 (x + 2)$——"$1$ 是三重根，$-2$ 是单根"。形式化：
为什么要数重数？——在 $\mathbf{C}$ 上如果带重数计数，$\deg p$ 次多项式恰好有 $\deg p$ 个根（不是"至多"而是"恰好"）。这让 $\mathbf{C}$ 上多项式计数"完美"。
几何直觉：
Q6 交互的 $(x-1)^2$ 预设就能看到"切线触碰 x 轴但不穿过"；$(x-1)^4$ 预设能看到更平的触碰。
Ch 5 里的应用：$\lambda$ 作为最小多项式根的重数 = $\lambda$ 作为 $T$ 的特征值的"代数重数"。它决定了对应广义特征空间的维数（Ch 8 Jordan 分解时详谈）。
"基本"两个字分量很重——这是 $\mathbf{C}$ 超越 $\mathbf{R}$ 的核心原因。
证明思路（Axler 4.13）：不是纯代数证——用复分析。两种常见路线：
Axler 给出的是 Liouville 版本（后续"补遗"章节）。不管哪个，本质都是"$\mathbf{C}$ 是代数闭的，而代数闭性需要拓扑论证"——纯代数证 FTA 不存在（Galois 理论里有"部分代数"证明但仍需依赖中间值定理等连续性）。
FTA 反复应用得到：
怎么证：FTA 给一个根 $\lambda_1$，4.11 得 $p(z) = (z - \lambda_1) q_1(z)$，$\deg q_1 = n - 1$。若 $n = 1$ 完成；否则对 $q_1$ 继续——递归 $n$ 次。
$\mathbf{C}$ 上的世界很干净：
Ch 5 直接后果 (5.20)：若 $V$ 是 $\mathbf{C}$ 上有限维向量空间，$T \in \mathcal{L}(V)$，则 $T$ 必有特征值——因为 $p(T) = 0$ 的某个 $p$ 在 $\mathbf{C}$ 上分裂成一次因子 $(T - \lambda_1 I) \cdots (T - \lambda_n I) = 0$，必有某个 $(T - \lambda_i I)$ 不可逆，$\lambda_i$ 就是特征值。
$\mathbf{R}$ 上 $x^2 + 1$ 无根——没法再降到一次。但它在 $\mathbf{C}$ 上 $= (x - i)(x + i)$，两个根互为共轭。这不是偶然：
证用 $\overline{p(\lambda)} = p(\overline\lambda)$（实系数下共轭分配进去）。所以复根总成对：$\lambda$ 和 $\overline\lambda$。把这对合并：
系数全是实数！判别式 $b^2 - 4c = 4(\operatorname{Re}\lambda)^2 - 4|\lambda|^2 = -4(\operatorname{Im}\lambda)^2 < 0$。所以这个二次式在 $\mathbf{R}$ 上不可约（无实根）。
几何意义：$\mathbf{R}$ 上"不可约"的多项式只有一次（图像是直线穿 x 轴）和无实根二次（图像是不碰 x 轴的抛物线）两种。
Ch 5 后果 (5.24)：$\mathbf{R}$ 上算子 $T$ 未必有特征值（例：90° 旋转），但必有 1 或 2 维不变子空间——1 维对应实根，2 维对应共轭复根对。
到这里多项式"从中学内容升级到线性代数工具"的关键一步：
（常数项 $a_0$ 变成 $a_0 I$——这是唯一非平凡的约定，因为"数 $a_0$" 和"算子"是不同类型，用 $I$ 作桥梁。）
关键代数事实：
这虽然平凡（$T$ 和自己当然交换），但很重要——因为一般算子 $S, T$ 不交换 ($ST \neq TS$)，但"$T$ 的任何两个多项式"必交换。
例子：$T: \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}^2$，$T(x, y) = (2x + y, y)$，即 $T = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$。对 $p(z) = z^2 - 3z + 2 = (z-1)(z-2)$：
预告：最小多项式。$p(T) = 0$ 对很多 $p$ 成立，其中度数最小、首一的那个叫 $T$ 的最小多项式 $m_T$。它满足：
$m_T$ 是 Ch 5B 的主角——Axler 4e 重新组织后，最小多项式早于特征多项式出场。
纯存在性论证，漂亮简短：
起点：$V$ 有限维 $n = \dim V$，所以 $\dim \mathcal{L}(V) = n^2$ 有限。
考虑算子列 $I, T, T^2, T^3, \ldots, T^{n^2}$——共 $n^2 + 1$ 个，在 $n^2$ 维空间 $\mathcal{L}(V)$ 里必线性相关（Ch 2 基本定理）。
所以存在不全零的 $a_0, a_1, \ldots, a_{n^2}$ 使
即 $p(T) = 0$ 其中 $p(z) = \sum a_i z^i \neq 0$。令
这是非空集（刚找到一个非零成员），且对加法/乘以任意多项式封闭（是 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 的理想）。$\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 是 PID（主理想整环）——所有理想都由单个多项式生成。
取 $\mathcal{I}$ 里度数最小的非零多项式 $m_T$，除以它的首项系数使其首一。这个 $m_T$ 就是最小多项式：唯一、首一、度数最低、整除其他所有 $\mathcal{I}$ 成员。
关键结果 (5.24)：$\lambda \in \mathbf{F}$ 是 $T$ 的特征值 $\iff$ $m_T(\lambda) = 0$。证：$p = m_T$ 分解用 4.11，若 $\lambda$ 根则 $(T - \lambda I)$ 是 $m_T(T)$ 的因子——$m_T(T) = 0$ 迫使 $(T - \lambda I)$ 奇异，$\lambda$ 是特征值。反之用 $m_T(\lambda) v = m_T(T) v = 0$ 对特征向量 $v$。
这就是"Ch 4 多项式语法给 Ch 5 算子理论上结构"的核心桥梁。
线性时不变（LTI）系统 $\dot x = Ax$ 的状态矩阵 $A$ 的特征多项式 $\chi_A(z) = \det(zI - A)$ 的根直接决定系统行为：
Routh-Hurwitz 判据：不算根、只看特征多项式系数就能判稳定性——直接读 $\chi_A$ 系数的符号模式。飞控、电力系统、化工反应器、机器人的稳定性分析全是这套。
给 $n + 1$ 个点 $(x_0, y_0), \ldots, (x_n, y_n)$（$x_i$ 互异），存在唯一次数 $\leq n$ 的多项式 $p$ 满足 $p(x_i) = y_i$。Lagrange 公式：
$\ell_i$ 在 $x_i$ 取 1，在其他 $x_j$ 取 0（用 4.11 立即验证——$\ell_i$ 的根恰好是 $\{x_j : j \neq i\}$）。这是数值分析、计算机图形学（Bézier 曲线）、密码学（Shamir 秘密共享）的基础。
有限冲激响应（FIR）滤波器 $y[n] = \sum_{k=0}^{M} h_k x[n-k]$ 的 Z 变换 $H(z) = \sum_{k=0}^{M} h_k z^{-k}$ 是 $z^{-1}$ 的多项式。$H(z) = 0$ 的根叫零点 (zeros)，它们的位置决定滤波器的频率响应：
50 Hz 工频干扰消除器就是在 $z = e^{\pm i \cdot 2\pi \cdot 50/f_s}$ 放一对共轭零点——把精确 50 Hz 消到 0，其他频率几乎不影响。
Ch 5 "Eigenvalues and Eigenvectors" 是整个线性代数中概念密度最高的一章，分 4 节：
你完成 Ch 4 的所有定理（尤其 4.8 除法、4.11 根-因子、4.13-4.17 分解定理）+ Ch 5 最小多项式定义 → Ch 5 的所有主定理都能在笔头上跑。
如果你是应用背景：先跳到 Ch 5D 对角化 + Ch 7 内积空间 + Ch 7B 谱定理 + Ch 7E SVD。这条线是"数据科学 + 数值计算"最短路径。Ch 5C 上三角和 Ch 8 Jordan 分解是理论闭环，日常工作不常直接用（但面试时能被问到）。
每题至少想 3 分钟再看答案。难度：★ 概念 · ★★ 证明 · ★★★ 综合。
用多项式带余除法算 $p(z) = z^4 - 3z^2 + 2$ 除以 $s(z) = z - 1$，求商 $q$ 和余 $r$。验证 $r = p(1)$。
长除法或综合除法 (Horner)。余式应该是常数。
综合除法：$[1, 0, -3, 0, 2]$ 除以 $(z - 1)$：
$1 \mid 1 \to 1+0=1 \to 1+(-3)=-2 \to -2+0=-2 \to -2+2=0$
商系数 $[1, 1, -2, -2]$，余 $0$。
$q(z) = z^3 + z^2 - 2z - 2$，$r = 0$。验证 $p(1) = 1 - 3 + 2 = 0 = r$ ✓。
所以 $z = 1$ 是 $p$ 的根——进一步可以分解 $p(z) = (z-1)(z^3 + z^2 - 2z - 2) = (z-1)(z+1)(z^2 - 2) = (z-1)(z+1)(z-\sqrt2)(z+\sqrt2)$。
$p(z) = z^4 + 2z^3 + 3z^2 + 2z + 2 \in \mathcal{P}(\mathbf{R})$。已知 $i$ 是一个根。请写出剩下 3 个根，并给出 $\mathbf{R}$ 上因子分解。
实系数 $\Rightarrow$ 共轭必是根 (4.15)。$(z - i)(z + i) = z^2 + 1$ 从 $p$ 除掉。
$-i$ 也是根。提出 $(z-i)(z+i) = z^2 + 1$：
$p(z) = (z^2 + 1)(z^2 + 2z + 2)$（长除验证）。
$z^2 + 2z + 2 = 0 \Rightarrow z = -1 \pm i$。
四根：$i, -i, -1 + i, -1 - i$。
$\mathbf{R}$ 上分解：$(z^2 + 1)(z^2 + 2z + 2)$——两个二次不可约因子，无实根。
证明：$\lambda$ 是 $p$ 的二重根 $\iff$ $p(\lambda) = 0$ 且 $p'(\lambda) = 0$ 且 $p''(\lambda) \neq 0$。
写 $p(z) = (z - \lambda)^m q(z)$, $q(\lambda) \neq 0$；求导看 $(z - \lambda)$ 指数。
($\Rightarrow$) 若 $\lambda$ 二重根，$p = (z - \lambda)^2 q$，$q(\lambda) \neq 0$。
$p' = 2(z - \lambda) q + (z - \lambda)^2 q' = (z - \lambda)[2q + (z - \lambda) q']$，代 $\lambda$ 得 $p'(\lambda) = 0$。
$p'' = 2q + 2(z - \lambda)q' + 2(z - \lambda)q' + (z - \lambda)^2 q'' = 2q + 4(z - \lambda)q' + (z - \lambda)^2 q''$。代 $\lambda$：$p''(\lambda) = 2 q(\lambda) \neq 0$。
($\Leftarrow$) 由 $p(\lambda) = 0$ 和 4.11 得 $p = (z - \lambda) q_1$。$p' = q_1 + (z - \lambda) q_1'$，代 $\lambda$：$p'(\lambda) = q_1(\lambda)$。$p'(\lambda) = 0 \Rightarrow q_1(\lambda) = 0 \Rightarrow q_1 = (z - \lambda) q_2$，所以 $p = (z - \lambda)^2 q_2$，至少 2 重。若是 3 重则 $q_2(\lambda) = 0$，从而 $p''(\lambda) = 2 q_2(\lambda) = 0$——矛盾。故恰好 2 重。∎
设 $T \in \mathcal{L}(V)$，$p, q \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$。证 $p(T)q(T) = q(T)p(T)$。为什么这不平凡？
算子乘法一般不交换，但 $T$ 和自身的任何幂当然交换。拆成单项展开。
设 $p(z) = \sum_{i} a_i z^i$，$q(z) = \sum_j b_j z^j$。则
$p(T) q(T) = \sum_{i, j} a_i b_j T^{i+j}$（利用 $T^i T^j = T^{i+j}$，这里用了 $T$ 和自己交换）
$q(T) p(T) = \sum_{i, j} b_j a_i T^{j+i} = \sum_{i, j} a_i b_j T^{i+j}$（标量可交换）
两者一致。∎
为什么不平凡：一般 $S, T \in \mathcal{L}(V)$ 有 $ST \neq TS$。但此处两个算子都是"同一个 $T$ 的多项式"，它们必共享特征分解（若存在），所以交换。这给出 Ch 5 的一个关键工具：$m_T$ 分解时每个 $(T - \lambda_i I)$ 都和其他这种因子交换，可以像数字一样重排。
设 $m_T$ 是 $T \in \mathcal{L}(V)$ 的最小多项式，$p \in \mathcal{P}(\mathbf{F})$。证：$p(T) = 0 \iff m_T \mid p$。
对 $p$ 用 4.8 除以 $m_T$：$p = m_T \cdot q + r$，$\deg r < \deg m_T$。
($\Leftarrow$) $p = m_T \cdot s \Rightarrow p(T) = m_T(T) \cdot s(T) = 0 \cdot s(T) = 0$。
($\Rightarrow$) 用 4.8：$p = m_T q + r$，$\deg r < \deg m_T$。代 $T$：$0 = p(T) = m_T(T) q(T) + r(T) = 0 + r(T)$，所以 $r(T) = 0$。
但 $m_T$ 是度数最小的零化多项式，$\deg r < \deg m_T$ 迫使 $r = 0$（否则 $r / (\text{首项})$ 是更小度数的首一零化多项式，矛盾）。
所以 $p = m_T q$，即 $m_T \mid p$。∎
推论：所有 $T$ 的零化多项式（"理想" $\{p : p(T) = 0\}$）由 $m_T$ 主生成——这是 $\mathcal{P}(\mathbf{F})$ 是主理想整环 (PID) 的一个具体体现。
证 $\{1, z, z^2, \ldots, z^m\}$ 是 $\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$ 的基。结合 Axler 2.23（有限维子空间必有基）严格写出论证。
两件事：(i) 张成 (ii) 线性无关。后者要用"唯一表示"(4.7) 或直接 4.12。
张成：$\mathcal{P}_m(\mathbf{F})$ 的定义就是"$a_0 + a_1 z + \cdots + a_m z^m$ 形式"——显然 $\{1, z, \ldots, z^m\}$ 张成。
线性无关：设 $a_0 \cdot 1 + a_1 z + \cdots + a_m z^m = 0$（恒等于零的零多项式）。由 4.12 推论：若某个 $a_i \neq 0$，则非零多项式 $a_0 + \cdots + a_m z^m$ 度数 $\leq m$，最多 $m$ 个根，但作为函数恒零意味有无限个根——矛盾。所以 $a_i = 0$ 全部。
（或者用 4.7 唯一表示：零多项式的唯一系数表示是全 0。）
合起来：$\{1, z, \ldots, z^m\}$ 是基，$\dim \mathcal{P}_m(\mathbf{F}) = m + 1$。∎
设 $U$ 是 $T \in \mathcal{L}(V)$ 的不变子空间（$T(U) \subseteq U$），$T|_U \in \mathcal{L}(U)$ 是限制。证 $m_{T|_U} \mid m_T$。
$m_T(T) = 0$ 在整个 $V$ 上成立 $\Rightarrow$ 在 $U$ 上也成立。配合 E5。
$m_T(T) = 0 \in \mathcal{L}(V)$ 意味对所有 $v \in V$，$m_T(T) v = 0$。特别地对 $u \in U$，$m_T(T) u = 0$。
但 $T(U) \subseteq U$ 意味 $T^k(U) \subseteq U$，所以 $m_T(T|_U) = m_T(T)|_U$——即 $m_T(T|_U) u = m_T(T) u = 0$ 对 $u \in U$。
因此 $m_T(T|_U) = 0 \in \mathcal{L}(U)$。由 E5（对 $T|_U$ 应用）$m_{T|_U} \mid m_T$。∎
意义：限制的最小多项式"不会变长"。这让"分块 + 递归"成为处理算子的标准技术——把 $V$ 分成 $T$-不变子空间之和，每块上的 $m_{T|_{U_i}}$ 都整除 $m_T$，而 $m_T = \operatorname{lcm}(m_{T|_{U_i}})$（在合适条件下）。Ch 8 Jordan 分解就是极致版本。
设 $p \in \mathcal{P}(\mathbf{C})$ 度数 $n \geq 1$。证：$p$ 在 $\mathbf{C}$ 上有 $n$ 个互异根 $\iff$ $p$ 和 $p'$ 没有公共根。
"$n$ 个互异根" $\iff$ "无重根"。结合 E3 的推广（$\lambda$ 是 $p$ 的 $\geq 2$ 重根 $\iff p(\lambda) = p'(\lambda) = 0$）。
关键引理（E3 推广）：$\lambda$ 是 $p$ 的重数 $\geq 2$ 根 $\iff$ $p(\lambda) = 0$ 且 $p'(\lambda) = 0$。证同 E3。
($\Rightarrow$) 设 $p$ 有 $n$ 个互异根 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$。由 4.14 $p$ 在 $\mathbf{C}$ 上分裂，共 $n$ 个根（带重数），既然互异 $\Rightarrow$ 每个重数恰 1。所以无重根，引理给出 $p'(\lambda_i) \neq 0$ 对所有 $i$。而 $p$ 和 $p'$ 的公共根必在 $\{\lambda_i\}$（因 $p$ 的根在此），所以公共根集为空。
($\Leftarrow$) 设 $p$ 和 $p'$ 无公共根。若 $p$ 有重数 $\geq 2$ 的根 $\mu$，引理给 $p(\mu) = p'(\mu) = 0$——矛盾。所以 $p$ 所有根重数都是 1。由 4.14 $p$ 共 $n$ 个根（带重数）$= n$ 个互异根。∎
算法应用：计算 $\gcd(p, p')$ 的非平凡因子——它正好是 $p$ 的"重根部分"。除掉 $\gcd$ 得到"无重根的 $p$"，数值计算更稳定。Mathematica 的 Simplify、SymPy 的 sqrfree 都用这个技术。